Im Wintersemester 2004/2005 halte ich eine Vorlesung `Algebraische
Gruppen' im Masters-Modul `Transformationsgruppen'. Es handelt sich
dabei um lineare algebraische Gruppen: Gruppen von Matrizen, die durch
polynomiale Gleichungen in den Matrixeinträgen definiert sind.
Eine solche Gruppe hat also die Struktur einer (affinen) Varietät,
und das Zusammenspiel zwischen dieser Struktur und der Gruppenstruktur
formt die Basis einer sehr reichen und spannenden Theorie, von der wir
hier eine kleine Auswahl behandeln.
Termine: Dienstag, 10-12 im Seminarraum und Montag, 9-10 und
12:30-13:30 im kleinen Hörsaal. Es wird jede Woche am Dienstag
ein Übungsblatt geben, dass dann jeweils bis Mittwoch, 18 Uhr,
in der nächsten Woche abgegeben werden soll. Hier sind sie:
Meine Notizen:
Themen (voraussichtlich):
- Klassische lineare algebraische Gruppen
- Definition und einfache Eigenschaften linearer algebraischer Gruppen
- Jordan-Zerlegung
- Diagonalisierbare Gruppen, Tori
- Klassifikation der zusammenhängenden 1-dimensionalen Gruppen
- Die Lie-Algebra einer Gruppe, Lie-Algebren der klassischen Gruppen
- Zusammenhängende auflösbare Gruppen
- Borel-Untergruppen, maximale Tori
- Alle Borel-Untergruppen (oder Tori) sind zueinander konjugiert
- Wurzelraumzerlegung der klassischen Lie-Algebren.
Wenn Sie noch keine Kenntnisse der algebraischen Geometrie haben, sollten
Sie parallel zu dieser Vorlesung die Vorlesung Algebraische Geometrie von
Herrn Kraft
besuchen. Die Vorlesung Algebraische Gruppen ist dreistündig,
aber ein Teil dieser 3 Stunden wird zur gemeinsamen Besprechung von
Aufgaben verwendet.
Literatur:
- Borel, Armand. Linear Algebraic Groups, 2nd enlarged
edition. Springer, 1991.
- Humphreys, James E. Linear Algebraic Groups, 2nd corrected
printing. Springer, 1981.
- Kraft, Hanspeter. Geometrische Methoden in der Invariantentheorie.
Friedrich Vieweg \& Sohn, 1985.
- Springer, Tonny A. Linear Algebraic Groups, 2nd
edition. Birkhäuser, 1998.