Die Fibonaccifolge und deren Behandlung im Unterricht
Semesterarbeit im Fach Mathematik
Studiengang Sekundarstufe I
Thomas Appenzeller
Betreuung: Dr. Hans Walser
2010
Inhalt
1.1 Warum das Thema Fibonacci-Zahlen im Schulunterricht?. 2
2. Die Fibonaccizahlen und ihr Auftreten in der Natur 3
2.2 Was sind Fibonaccifolge und Fibonaccizahlen?. 4
2.2.1 Die Goldene Zahl und die Fibonaccifolge. 4
2.2.2 Die goldene Spirale und die „Fibonaccispirale“. 5
2.2.3 Das Pascalsche Dreieck und die Fibonaccifolge. 7
2.3 Die Fibonaccizahlen in der Natur 9
2.3.1 Verzweigungen bei Sumpfschafgarbe. 9
2.3.2 Der Stammbaum einer Drohne und die Vererbung des Erbguts von X-Chromosomen. 9
2.3.3 Anordnung der Schuppen bei den Früchten der Ananas und bei Tannenzapfen. 10
2.3.4 Anordnung der Samen und Blüten bei der Sonnenblume. 11
2.3.5 Die Spirale des Gehäuses von Nautilus. 12
2.3.6 Erklärungsansätze für das Auftreten von Fibonaccizahlen in der Natur 12
3. Möglicher Aufbau einer Lektionseinheit zum Thema Fibonaccifolgen. 14
3.2 Voraussetzungen der Lernenden. 14
3.3 Aufbau der Lektionseinheit 14
1. Einleitung
1.1 Warum das Thema Fibonacci-Zahlen im Schulunterricht?
Oft erleben Jugendliche Mathematik als ein Fach, das wenig mit dem ausserschulischen Leben zu tun hat und das wenig sinnlich ist. Motivierend wirken auf viele Jugendliche im Gegensatz dazu mystische, geheimnisvolle und sinnliche, mit dem Leben verknüpfte Themen. In der Behandlung der Fibonaccizahlen im Mathematikunterricht sehe ich eine Möglichkeit, die Lernenden genau dort abzuholen. Dass sich Fibonaccizahlen in der Natur nachweisen lassen, wirkt geheimnisvoll. Und es wirft die Frage auf, inwiefern und warum Mathematik in dem als schön Erlebten versteckt ist.
1.2 Ziele der Arbeit
In der vorliegenden Arbeit soll dargestellt werden, ..
- was eine Fibonaccifolge ist und welcher mathematische Zusammenhang zwischen der Fibonaccifolge und dem goldenen Schnitt besteht.
- wie in der Natur Fibonaccizahlen beobachtet werden können und welche Erklärungsansätze es für diese Beobachtungen gibt.
Es soll auch ein Weg aufgezeigt werden, wie das Thema Fibonacci-Folgen möglichst exemplarisch im Mathematikunterricht behandelt werden kann.
2. Die Fibonaccizahlen und ihr Auftreten in der Natur
2.1 Wer war Fibonacci?
Fibonacci "Filius Bonacci" hiess mit bürgerlichem Namen Leonardo von Pisa. Er wurde zwischen 1170 und 1180 geboren, starb nach 1240 und gehörte zum Gelehrtenkreis um Kaiser Friedrich II.
Als Sohn eines Delegierten der Pisaner Kaufmannschaft im heutigen Algerien und auf Handelsreisen im gesamten Mittelmeerraum lernte Fibonacci alle damals bekannten Rechenverfahren kennen, insbesondere das Rechnen mit dem dekadischen Stellenwertsystem in den moslemisch geprägten Ländern.
1202 veröffentlichte Fibonacci sein Werk Liber Abaci. Damit machte er in Europa die indisch-arabische Rechenkunst bekannt und führte die heute übliche dekadische Schreibweise der Zahlen ein.
Abb. 1: Fibonacci Abb. 2: Wachstum einer Kaninchenpopulation gemäss dem
(Fantasieportrait) Rechenbeispiel von Fibonacci
Im Liber Abaci ist auch ein Rechenbeispiel enthalten, das die Startvoraussetzungen für die später nach Fibonacci benannte Folge am Beispiel des Wachstums einer Kaninchenpopulation nennt, nämlich:
- Die Kaninchenpopulation beginnt mit einem Kaninchenpaar.
- Jedes Paar bringt jeden Monat ein weiteres Paar zur Welt.
- Jedes Kaninchen wird im zweiten Monat geschlechtsreif.
- Kein Kaninchen stirbt, verlässt die Population oder stösst von aussen zur Population hinzu.
Eine derartige Population würde wie in der untenstehenden Abbildung dargestellt wachsen. Die Anzahl Kaninchenpaare entspräche dabei der Fibonaccifolge.
2.2 Was sind Fibonaccifolge und Fibonaccizahlen?
Definition Eine rekursive Folge, deren n-tes Glied durch an = an-1 + an-2
definiert ist, mit den Startwerten a1 = 1 und a2 = 1 oder mit den Startwerten a0 = 0 und a1 = 1, heisst Fibonaccifolge.
Je nach Definition der Startwerte ergeben sich die Anfangsglieder
1, 1, 2 3, 5, 8, 13. 21. 34, 55, … oder 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13. 21. 34, 55, … . Die Glieder der Fibonaccifolge heissen Fibonaccizahlen.
Der Zahlentheoretiker Edouard Lucas (1842-1891) studierte eingehend die Eigenschaften der Fibonaccifolge und der ihr ähnlichen Lucasfolge und gab ihnen auch den Namen.
Gemäss dem indischen Mathematikhistoriker P. Singh war die Folge schon vor Fibonacci im indischen Kulturraum bekannt und wurde dort 450 oder 200 v. Chr. im Werk Chhandah-shastra von Pingala, einem Sanskrit-Grammatiker unter dem Namen matrameru (Berg der Kadenz) beschrieben. Auch Virahanka, Gopala und Hemacandra befassten sich laut Singh zwischen 600 und 800 n. Chr. mit der Folge.
Die Herleitung des expliziten Bildungsgesetz für die Glieder der Fibonacci-Folge gelang unabhängig voneinander den französischen Mathematikern Abraham de Moivre im Jahr 1730 und Jacques Binet im Jahr 1843.
Die explizite Darstellung für die Fibonacci-Folge heisst:
2.2.1 Die Goldene Zahl und die Fibonaccifolge
Zwei reelle Zahlen
a > b > 0, zum Beispiel die Längen zweier Strecken, stehen genau dann im
Verhältnis des Goldenen Schnitts, wenn die Gleichung
gilt.
Die sich aus dem Goldenen Schnitt ergebende irrationale algebraische Zahl
Φ = 
heisst Goldene Zahl. Sie kann auch
mit der Folge
{xn}, die gegeben ist durch x0 := 1, xn+1 
definiert werden :
= Φ
Die Folge {xn} kann auch mit dem unendliche Kettenbruch 
dargestellt werden.
Für den
Quotienten aufeinanderfolgender Fibonaccizahlen (xn, xn+1) gilt: 
= Φ
2.2.2 Die goldene Spirale und die „Fibonaccispirale“
Die Goldene Spirale ist ein Sonderfall der logarithmischen Spirale, die als Spezialität das Teilungsverhältnisses des Goldenen Schnittes als Steigung verwendet. Sie lässt sich mit der
Koordinatengleichung 
beschreiben. Dabei ist Φ die goldene Zahl, ϑ der
Drehwinkel und r der Abstand des jeweiligen
Punktes vom Ursprung des Koordinatensystems.
Eine Annäherung an die Goldene Spirale, die „Fibonaccispirale“ kann wie folgt erstellt werden:
1) Man konstruiert wie in Abb. 2 dargestellt zwei nebeneinander liegende gleich grosse Quadrate mit der beliebigen Seitenlänge a. Es ergibt sich so ein Rechteck mit der Länge 2a und der Breite a.
Abb. 3: Schritt 1
2) Angrenzend an eine der Längen des Rechtecks wird nun ein Quadrat konstruiert, dessen Seitenlänge gleich lang ist wie die Länge des Rechtecks. So entsteht ein neues Rechteck mit der Seitenlänge 3a und der Breite 2a. (Siehe Abb 4)
Abb. 4: Schritt 2
3) Nun fährt man wie bei Schritt 2 fort, wobei man darauf achten muss, dass man das neue Quadrat immer in der gleichen Orientierung um den Ursprung der Spirale ansetzt wie die vorhergehenden Quadrate. (Siehe Abb. 5)
Abb. 5: Schritt 3
4) Zuletzt werden um die zentral gelegenen und durch die an diese angrenzenden Eckpunkte der konstruierten Quadrate - wie in Abb. 6 dargestellt - Viertelkreise eingezeichnet.
Abb. 6: Schritt 4
Wählt man für die beiden ersten Quadrate die Seitelänge 1, so ergeben die nach Grösse geordneten Längen der Seiten dieser beiden Quadrate und der anschliessend konstruierten Rechtecke die Fibonaccireihe.
Die Rechtecke selbst nähern sich immer mehr der Gestalt des Goldenen Rechtecks, das heisst eines Rechtecks, bei dem Länge und Breite zueinander im Verhältnis des Goldenen Schnitts stehen.
Da die Goldene Spirale durch die Eckpunkte von ineinandergeschachtelten Goldenen Rechtecken läuft, lässt sich mit der diese Schachtelung approximierenden Konstruktion auch die Goldene Spirale selbst approximieren. Im Gegensatz zur Goldenen Spirale hat die Fibonaccispirale keine konstante Steigung.
2.2.3 Das Pascalsche Dreieck und die Fibonaccifolge
Das Pascalsche Dreieck ist eine
geometrische Darstellung der Binomialkoeffizienten 
. Sie sind im Dreieck so
angeordnet, dass jeder Eintrag die Summe der zwei darüberstehenden Einträge
ist.
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Abb. 7: Das Pascalsches Dreieck mit unterschiedlich gefärbten Diagonalen
Addiert man im obenstehenden Pascalschen Dreieck jeweils die Zahlen von gleich gefärbten Diagonalen, so erhält man die Fibonaccizahlen:
1. Diagonale (gelb): 1
2. Diagonale (brau): 1
3. Diagonale (blau): 1+1=2
4. Diagonale (hellgrün) 2+1=3
5. Diagonale (grau): 1+1+3=5
Fährt man so fort, d.h. addiert jeweils von der folgenden unten angrenzenden parallelen Diagonale die Zahlen so erhält man die Fibonaccifolge. Warum dies so ist, kann anschaulich gezeigt werden, wenn man das Pascaldreieck wie bei Abbildung 8 mit Linksanschlag in einer Tabelle mit quadratischen Feldern darstellt, ganz links eine Kolonne mit Nullen einfügt und alle leeren Felder der rechten Kolonnen mit Nullen auffüllt.
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Abb. 8: Mit Linksanschlag dargestelltes Pascaldreieck
Im mit Linksanschlag dargestellten Pascaldreieck der Abbildung 8 gilt:
Die in Abbildung 7 eingezeichneten Diagonalen sind hier die Diagonalen mit der Steigung 1.
Jede Zahl ist die Summe der über ihr stehenden Zahl und der Zahl, die sich links neben der darüber stehenden Zahl befindet. Beispielsweise ist die grün hinterlegte 3 die Summe aus der darüber stehenden grauen 1 und der links neben der 1 stehenden blauen drei.
Daraus ergibt sich folgender in Abbildung 9 dargestellte Sachverhalt: Die Summe der Zahlen jeder Diagonale mit der Steigung 1 ist gleich der Summe der Zahlen der beiden unmittelbar über dieser liegenden Diagonalen mit der Steigung 1. Die Summe der Zahlen der grünen Diagonalen (8) ist beispielsweise gleich der Summe der grauen Diagonalen (5) und derjenigen der blauen Diagonalen (3).
Daraus, dass zudem die Summen der beiden zuoberst liegenden Diagonalen mit der Steigung 1 die beiden ersten Fibonaccizahlen ergeben, und daraus, dass eine Fibonaccizahl die Summe der zwei vorhergehenden Fibonaccizahlen ist, folgt: Die Diagonalensummen der von oben nach unten geordneten Diagonalen ergeben die Fibonaccifolge.
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Abb. 9: Diagonalen, deren Summe Fibonaccizahlen ergeben
2.3 Die Fibonaccizahlen in der Natur
Fibonaccizahlen treten in der Natur erstaunlich häufig auf, insbesondere als Folge der Blattstellung bei Pflanzen bei deren Blättern, Blüten, Seitentrieben und Früchten. Im Folgenden sollen dazu einige Beispiele genannt werden.
2.3.1 Verzweigungen bei Sumpfschafgarbe
Die Abbildung 10 zeigt eine Pflanze, die nach den Gesetzmässigkeiten der Fibonoccifolge ihre Seitentriebe bildet. In der ersten Phase des Wachstums eines Triebs (mit weissen Quadraten dargestellt) werden keine Seitentriebe gebildet, in der zweiten und in allen folgenden Phasen wird jeweils ein Seitentrieb mit Blatt angelegt. Es ergibt sich so eine Vermehrung der Triebe, die der Kaninchenvermehrung im Rechenbeispiel von Fibonacci entspricht. Auch die Anzahl der gebildeten Blätter und Blüten sind Fibonaccizahlen. Die Sumpfschafgarbe Achillea ptarmica (Abbildung 11) wächst weitgehend gleich wie die beschriebene Pflanze.
Abb. 10: Die Sumpfschafgarbe schematisch Abb. 11: Die Sumpfschafgarbe in Natura
2.3.2 Der Stammbaum einer Drohne und die Vererbung des Erbguts von X-Chromosomen
Weibliche Bienen entwickeln sich aus befruchteten Eiern. Sie haben also sowohl eine männliche Drohne (D) als eine weibliche Königin (K) als Vorfahren. Drohnen entwickeln sich hingegen aus unbefruchteten Eiern, haben also nur eine Königin als Vorfahre. Damit ergibt sich für Drohnen der in der Abbildung 12 dargestellte Stammbaum. Die Anzahl Vorfahren einer Drohne in der n-ten Vorgeneration (n = Natürliche Zahl) ergibt somit die Fibonaccifolge ohne deren erstes Glied.
Abb. 12: Stammbaum einer Drohne
Untersucht man, wie viele verschiedene Vorfahren ein Mensch in der n-ten Vorgeneration hatte, die einen Einfluss auf sein X-Chromosom gehabt haben könnten, so ergibt sich die gleiche Struktur wie beim oben dargestellte Drohnenstammbaum also ebenfalls die Fibonaccifolge ohne deren erstes Glied (Mann) bzw. ohne deren erste zwei Glieder (Frau). Die gleiche Struktur wie beim Drohnenstammbaum tritt deshalb auf, weil die X-Chromosomenweitergabe beim Menschen nach dem gleichen Muster abläuft wie der Erbgang bei Bienen (Männer erben das X-Chromosom nur von der Mutter, Frauen von beiden Eltern).
Abb. 13: Vererbung des Erbguts von X-Chromosomen
2.3.3 Anordnung der Schuppen bei den Früchten der Ananas und bei Tannenzapfen
Wie Abbildung 14 zeigt, sind die sechseckigen Pseudoschuppen der Ananas so angeordnet, dass durch die Zentren nebeneinander liegender Schuppen Spiralen gezogen werden können, die in drei Richtungen orientiert sind. Verblüffend ist, dass sich dabei 8, 13 und 21 jeweils gleich orientierte Spiralen ergeben. Die Zahl der Spiralen ist also in allen drei Orientierungsrichtungen eine Fibonaccizahl.
Eigene Untersuchung ergaben jedoch auch Abweichungen von der Regel. Eine leicht deformierte Ananas wies 8, 9 und 17 jeweils gleich orientierte Spiralen auf.
Abb. 14: Spiralen bei der Ananas
Bei Tannenzapfen sind die Schuppen so angeordnet, dass sich links- und rechtslaufende Spiralen beobachten lassen. Die Anzahl dieser Spiralen variiert zwischen den verschiedenen Nadelhölzern. Es treten jedoch, wie die Tabelle 1 zeigt, Fibonaccizahlen auf.
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Baumart
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Anzahl rechts lau-fende Spiralen |
Anzahl links lau- fende Spiralen |
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Douglastanne
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Föhre
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Lärche
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Rottanne |
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Abb. 15: Zapfen einer Kiefer Tabelle 1: Spiralen bei Zapfen von Nadelhölzern
2.3.4 Anordnung der Samen und Blüten bei der Sonnenblume
Die Einzelblüten der Sonnenblumen bilden zwei Systeme von Spiralen, die vom Mittelpunkt ausgehen. Es sind meistens 55 rechtsdrehende und 34 linksdrehende Spiralen. Seltener sind Arten mit 21 und 34 Spiralen. Eine Riesensonnenblume hat 144 und 233 Spiralen. Die Anzahl Spiralen sind also interessanterweise Fibonaccizahlen.
Bild 16: Spiralen bei Sonnenblume
2.3.5 Die Spirale des Gehäuses von Nautilus
Auch das Gehäuse von Nautilus wird als Beispiel für das Vorkommen der Fibonaccispirale bzw. der sehr ähnlichen Goldenen Spirale in der Natur genannt (Siehe Bild 6). Dass der Verlauf der Aussenwand des Gehäuses von Nautilus im Längsschnitt durch eine logarithmische Spirale, nicht jedoch exakt durch die Goldene Spirale approximiert werden kann, zeigt Abbildung 18.
Abb. 17: Schräg fotografierte Abb. 18: Längsschnitt durch Nautilus-
Nautilusschale mit Fibonaccispirale schale mit Goldener Spirale
2.3.6 Erklärungsansätze für das Auftreten von Fibonaccizahlen in der Natur
Werden - wie in Abbildung 19 dargestellt - Blätter oder andere Pflanzenteile um eine Achse bzw. den Stängel im Goldenen Winkel (137, 5..°) angeordnet und wird dabei der Abstand zum Zentrum der Achse gleichzeitig vergrössert, so ergibt sich die in der Abbildung 20 dargestellte berechnete Anordnung: Die Pflanzteile gruppieren sich zu Links- und rechtsdrehende Spiralen. Die Anzahl dieser Spiralen ist eine Fibonaccizahl.
Abb. 19: Anordnung von Blättern Abb. 20: Berechneter Blütenstand
im Goldenen Winkel
Würden Pflanzen bei der Anordnung von Blättern, Blüten, Trieben und Früchten nach diesem Prinzip vorgehen, so stellen sich zwei Fragen:
- Welcher Nutzen ergibt sich aus einer derartigen Anordnung für die Pflanze?
- Wie steuert die Pflanze die Anordnung?
2.3.6.1 Nutzen
Die Wahl des Goldenen Winkels gewährleistet wegen seines irrationalen Werts, dass nie zwei Blätter genau übereinander liegen. Der Nutzen für die Pflanze könnte daher darin bestehen, dass das von oben einfallendes Sonnenlicht (bzw. Wasser und Luft) optimal genutzt würde. Diese Vermutung äusserte übrigens bereits Leonardo da Vinci. Da eine Pflanze ja nicht ewig in die Höhe wächst, ist der Goldene Winkel wohl nicht der einzig optimale. Ein Nachteil hinsichtlich der optimalen Nutzung von Ressourcen wie Licht sind indessen auch bei einer kleinen Anzahl angeordneter Blättern Winkel zwischen den Blattstielen, die auf einer Kreisteilung mit kleinen natürlichen Zahlen basieren, insbesondere die Winkel 180°, 90° und 60°. Bei solchen Winkeln zwischen den Blattstielen würde ein Folgeblatt schon relativ bald ein anderes Blatt überdecken.
Ein Nutzen der Anordnung im Goldenen Winkel könnte auch darin bestehen, dass durch Fotosynthese entstandene Kohlenhydrate im Phloemteil der Leitbündel effizienter nach unten transportiert werden könnten.
Zu prüfen wären meines Erachtens auch statische Vorteile einer Anordnung im Goldenen Winkel bei einem wachsenden System.
2.3.6.2 Steuerung der Anordnung
Es wird vermutet, dass zur Kontrolle der Bildung von Blättern und Seitentrieben an jeder Blattwurzel ein besonderer Wachstumshemmer (Inhibitor) abgegeben wird, der im Pflanzenstamm vor allem nach oben, in geringerem Umfang aber auch in seitlicher Richtung diffundiert. Dabei bilden sich in verschiedene Richtungen bestimmte Konzentrationsgefälle aus. Das nächste Blatt entwickelt sich an einer Stelle des Umfangs, an der die Konzentration minimal ist. Da jedes Blatt durch die Abgabe des Inhibitors ein Wachstum unmittelbar über sich hemmt, erfolgt automatisch eine Anordnung der Blätter in einem Verhältnis, das alle rationalen Zahlen meidet. Da bisher kein solcher Inhibitor isoliert werden konnte, werden auch andere Hypothesen diskutiert, wie beispielsweise die Steuerung dieser Vorgänge in analoger Weise durch Konzentrationsverteilungen von Nährstoffen.
Eine weitere These, die aufgrund von nanotechnischen Forschungsergebnissen angestellt wurde, postuliert, dass auf konischen Strukturen sich selbstätig Spiralen in Fibonaccizahlen bilden. Dies, weil für diese Strukturierung der Energieaufwand am geringsten ist. Der Wachstumskegel bei Pflanzentrieben ist ein Konus.
3. Möglicher Aufbau einer Lektionseinheit zum Thema Fibonaccifolgen
3.1 Lernziele
- Die Lernenden lernen die Fibonaccifolge und den Goldenen Schnitt kennen.
- Die Lernenden üben das Lösen mathematisch-logischer Probleme.
- Die Lernenden werden für die Auseinandersetzung mit der Algebra motiviert.
- Die Lernenden erleben, dass es in der Natur überraschende mathematische Phänomene gibt, die nicht vollständig verstanden sind.
- Die Lernenden erleben, dass Mathematik auch mit Geheimnis, Mystik und Schönheit zu tun hat.
3.2 Voraussetzungen der Lernenden
Die Lernenden haben schon Zahlenreihen kennengelernt.
3.3 Aufbau der Lektionseinheit
3.3.1 Lektion 1
Gruppenpuzzle zur Fibonaccifolge, fünf verschiedene Aufgaben, jede Gruppe soll mindestens eine Aufgabe lösen und sich auf die Präsentation der Lösung vor der Klasse vorbereiten.
Aufgabe 1:
Angefangene Reihen (mindestens eine Reihe ist die Fibonaccireihe) fortführen und erklären, wie die Reihe aufgebaut ist
Aufgabe 2:
Kaninchenaufgabe von Fibonacci lösen
Aufgabe 3:
Anzahl Triebe beim Wachstum einer Schafgarbe berechnen
Aufgabe 4:
Stammbaum einer Drohne aufstellen und berechnen, wie viele Vorfahren die Drohne in den jeweiligen Generationen hat
Aufgabe 5:
Fortsetzen einer Konstruktion der Fibonaccispirale und berechnen der Rechteckslängen
Aufgabe 6:
Aufgabe zum Treppensteigen auf Internetseite von Matheprisma lösen: Auf wie viele Arten kann man zur sechsten Stufe gelangen, wenn man zwingend die erste Stufe betritt und danach die nächste oder übernächste Stufe wählt?
Dazu die Webadresse http://www.matheprisma.uni-wuppertal.de/Module/Rekurs/index.htm
aufrufen und auf Fibonacci 1 klicken
Aufgabe 7:
Summe von Diagonalen eines Pascaldreiecks berechnen
3.3.2 Lektion 2
Präsentation der Ergebnisse der Aufgaben zum Gruppenpuzzle
Klassengespräch: Gemeinsamkeit der Zahlenfolgen, Bildungsgesetz d. Fibonaccifolge
Auftrag: Division mit je zwei benachbarten Fibonaccizahlen durchführen, grössere durch kleinere Zahl
Beobachtung: Der Quotient nähert sich mit zunehmender Grösse der dividierten Zahlen der Goldenen Zahl
Bestimmen des Goldenen Schnitts & Berechnung der Goldenen Zahl beim menschlichen Körper (Körpergrösse / Bauchnabelhöhe)
Lehrerinput zum Thema Goldener Schnitt (mit Bildern)
3.3.3 Lektion 3
Exkursion zu Nadelwald (z. B. Hardwald, Muttenz), am besten zwischen September und November
Lehrerinput zum Thema Nadelhölzern (Lebensraum, Herkunft, Bedeutung der Nadeln, Blüte ..), Lernende beobachten Anordnung der Zweige, Lichtabsorbtion
Lernende sammeln möglichst gut erhaltene Föhren- und Fichtenzapfen, zeichnen mit Folienschreiber Spiralen ein, zählen Anzahl gleichgerichtete Spiralen und protokollieren Ergebnisse
Vergleich der Ergebnisse: immer gleiche Anzahl Spiralen bei Zapfen, viel einheitlichere Wuchsform der Zapfen als Wuchsform des Gesamtbaumes, ev., weil im langen Baumleben viel mehr Anpassungen an die Umwelt nötig sind als beim eher kurzen Wachstum eines Zapfens
Lernende nehmen je einen Zapfen für den Mathematikunterricht mit
3.3.4 Lektion 4
Partnerarbeit, vier verschiedene Aufgaben, Materialen werden ausgetauscht
Aufgabe 1:
Bestimmung der Anzahl Spiralen bei Sonnenblumen
Aufgabe 2:
Bestimmung der Anzahl Spiralen bei Ananasfrüchten
Aufgabe 3:
Bestimmung der Anzahl Spiralen bei Zapfen kalifornischer „Sugar pine“
Aufgabe 4:
Bestimmung der Anzahl Blütenblätter bei Gänseblümchen oder der Spiralen bei Kakteen
Vergleich der Ergebnisse: Es treten bei diversen Pflanzen Fibonaccizahlen auf
Hausaufgabe (fakultativ): Recherche zu möglichen Gründen
3.3.5 Lektion 5
Klassengespräch: Mögliche Gründe für das Auftreten von Fibonaccizahlen: Anordnung im Goldenen Winkel ermöglicht optimale Ausrichtung zum Sonnenlicht
Letztlich gibt es keine hieb- und stichfeste Erklärung des Auftretens von Fibonaccizahlen
Anderes Thema, z.B. Einstieg in Algebra
Literaturverzeichnis
[1] Atela, Pau & Golé, Christophe: Phyllotaxis.
http://www.math.smith.edu/phyllo//About/index.html, Zugriff Juni 2010
[2] Becker, Michael: Fibonaccizahlen. http://www.ijon.de/mathe/fibonacci/index.html,
Zugriff Juni 2010
[3] Klein, Gerrit & Krivsky, Stefanie (2001): Rekursive Folgen.
http://www.matheprisma.uni-wuppertal.de/Module/Rekurs/index.htm, Zugriff Juni 2010
[4] Knott, Ron (1996 - 2010): Fibonacci Numbers and the golden Section.
http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fib.html, Zugriff Juni 2010
[5] Lausch Huberta (2009): Fibonacci und die Folge(n). Oldenbourg Verlag: München.
[6] Massin, Hubert: Das Projekt Fibonaccizahlen.
http://www.mathekiste.de/fibonacci/pascal.htm, Zugriff Juni 2010
[7] Ortner, Dieter (2006): Die Fibonaccifolge.
http://www.dieterortner.ch/Luzern/fibonacci.pdf, Zugriff Juni 2010
[8] Singh, Parmanand (1985): Acharya Hemachandra and the (so called) Fibonacci Numbers. In: Historia Mathematica Vol 12. Elsevier: Amsterdam
[9] Hans Walser (2009): Der Goldene Schnitt, 5. Auflage. Edition am Gutenbergplatz: Leipzig
[10] Walser, Hans (2009): Fibonacci-Trapeze.
http://www.math.unibas.ch/~walser/Vortraege/Vortrag73/Fibonacci_Trapeze.pdf, Zugriff Juni 2010
Bildnachweis
Abb. 1: http://www.mathekiste.de/fibonacci/projfibonacci.htm
Abb. 2, 10: www.fibonacci.stefanruf.ch/natur.php
Abb. 7: http://www.mathekiste.de/fibonacci/pascal.htm
Abb. 10, 13: http://www.math.uni-hamburg.de/home/werner/GruMiFiboSoSe06.pdf
Abb. 11: www.wildstauden.ch/pflanzen/index.php
Bild 14, 15 : http://www.math.uni-hamburg.de/home/werner/GruMiFiboSoSe06.pdf
Abb. 16: http://de.wikipedia.org/wiki/Goldener_Schnitt
Abb. 17: http://www.helix-pomatia.de/nautilus.html
Abb. 18: http://www.shallowsky.com/blog/images/NautilusCutawaySpiral.jpg
Abb. 19: http://www.natur-struktur.ch/goldenmean/phyllotaxis.html
Abb. 20: http://de.wikipedia.org/wiki/Goldener_Schnitt
Tabelle 1: Quelle: